ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LANGRANCE

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΟ MATHEMATICA 
ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ - ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ: ΔΡ ΚΟΡΡΕΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η :
Βρείτε γεωμετρικά τα ακρότατα της συνάρτησης f(x, y) = 10 + x + 3 y - (x^( 2))-(y^( 2)), (x, y) ∈ R\(TraditionalForm\`\^2\) υπό τον περιορισμό g(x, y) = 2 x + 3 y - 12 = 0.

BHMA 1:
Ορίζουμε τις συναρτήσεις f(x, y) και g(x, y) στο πρόγραμμα.

f[x_, y_] := 10 + x + 3*y - x^2 - y^2
g[x_, y_] := 2*x + 3*y - 12

BHMA 2:
ΒΗΜΑ 2 α: 
Τι παριστάνει γεωμετρικά το σύνολο των σημείων που επαληθεύουν την εξίσωση: z = f(x, y); 



Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f(x, y) στο χώρο.

a = 
      Plot3D[f[x, y] // Evaluate, {x, 0, 3}, {y, 0, 5}, 
        AspectRatio -> 1, 
        AxesLabel -> {"x", "y", "z"}]

ΒΗΜΑ 2 β: 
Τι παριστάνει γεωμετρικά ο περιορισμός g(x, y) = 0; 



Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση του περιορισμού στο χώρο.

Solve[g[x, y] == 0, y]
b = 
      ParametricPlot3D[{x, -(2/3) (-6 + x), z} // 
          Evaluate, {x, 0, 3}, {z, -7, 15}, AspectRatio -> 1, 
        AxesLabel -> {"x", "y", "z"}]

ΒΗΜΑ 3: 
Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του προβλήματος εύρεσης μεγίστων και ελαχίστων τιμών της συνάρτησης f(x, y) σε σημεία τα οποία ικανοποιούν τη σχέση: g(x, y) = 0;

Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση των f(x, y) και του περιορισμού g(x, y) = 0 στο ίδιο γράφημα.

Show[a, b]

ΒΗΜΑ 4: 
Μπορείτε να διατυπώσετε μια εικασία σχετικά με το ποιές είναι οι μέγιστες ή ελάχιστες τιμές της συνάρτησης f(x, y) σε σημεία τα οποία ικανοποιούν τη σχέση: g(x, y) = 0;

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η :
Βρείτε με τη μέθοδο Langrance τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία της συνάρτησης f(x, y) = 10 + x + 3 y - (x^( 2))-(y^( 2)), (x, y) ∈ R\(TraditionalForm\`\^2\) υπό τον περιορισμό g(x, y) = 2 x + 3 y - 12 = 0.

ΒΗΜΑ 1: 
Θεωρούμε τη συνάρτηση F(x, y) =  f(x, y) + m g(x, y), όπου m = ο πολλαπλασιαστής Langrance και την ορίζουμε στο πρόγραμμα.

F[x_, y_, m_] := f[x, y] + m*g[x, y] // Expand

F[x, y, m]

ΒΗΜΑ 2: 
Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους ∂(F/∂)x, ∂(F/∂)y, (∂^2) (F/∂)(x^2), (∂^2) (F/∂)(y^2), (∂^2) (F/(∂x ∂y)). Επίσης τις ∂(g/∂)x,∂(g/∂)y.

(∂_x) F[x, y, m]

(∂_y) F[x, y, m]

(∂_(x, x))F[x, y, m]

(∂_(y, y))F[x, y, m]

(∂_(x, y))F[x, y, m]

(∂_(y, x))F[x, y, m]

(∂_x) g[x, y]

(∂_y) g[x, y]

ΒΗΜΑ 3: 
Επιλύουμε το σύστημα:  
∂(F/∂)x =  0, ∂(F/∂)y  =  0, g(x,  y)  =  0. 
Προκύπτουν τριάδες λύσεων της μορφής (xo, yo, m). 
Τα σημεία (xo, yo) είναι πιθανά σημεία τοπικών ακροτάτων, με αντίστοιχο ακρότατο το f(xo, yo).

Solve[{(∂_x) F[x, y, m] == 
          0, (∂_y) F[x, y, m] == 0, 
        g[x, y] == 0 }, {x, y, m}]

f[(3/2), 3]

ΒΗΜΑ 4: 
Για κάθε πιθανό σημείο τοπικού ακροτάτου (xo, yo), ελέγχουμε αν είναι τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο ως εξής: 
Υπολογίζουμε την ορίζουσα του πίνακα Α = (({{(∂^2) (F/∂)(x^2), (∂^2) (F/(∂x ∂y)), ∂(g/∂)x}, {(∂^2) (F/(∂y ∂x)), (∂^2) (F/∂)(y^2), ∂(g/∂)y}, {∂(g/∂)x, ∂(g/∂)y, 0}})).
(α) Αν Det(A) > 0 τότε έχουμε μέγιστο το f(xo, yo) στο σημείο (xo, yo). 
(β) Αν Det(A) < 0 τότε έχουμε ελάχιστο το f(xo, yo) στο σημείο (xo, yo).

Det[(({{-2, 0, 2}, {0, -2, 3}, {2, 3, 0}}))]

ΑΣΚΗΣΗ:
(α) Προσδιορίστε γεωμετρικά τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία της συνάρτησης f(x, y) = 5 + x + 3 y - x\(TraditionalForm\`\^2\), (x, y) ∈ R\(TraditionalForm\`\^2\) υπό τον περιορισμό g(x, y) = x\(TraditionalForm\`\^2\) + 3 y - 4 = 0.  





(β) Βρείτε με τη μέθοδο Langrance τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία της συνάρτησης f(x, y) = 5 + x + 3 y - x\(TraditionalForm\`\^2\), (x, y) ∈ R\(TraditionalForm\`\^2\) υπό τον περιορισμό g(x, y) = x\(TraditionalForm\`\^2\) + 3 y - 4 = 0.