Πανεπιστήμιο Πειραιώς - Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης

 Άλγεβρα (Επιλογή)

Δρ Κορρές Κωνσταντίνος

 

Η Άλγεβρα ασχολείται με την έννοια της «δομής» και αντικείμενο της είναι σύνολα στα οποία έχουν οριστεί πράξεις μεταξύ των στοιχείων τους.

Η Άλγεβρα αποτελεί βασικό εργαλείο για την κατανόηση και μελέτη εννοιών, μεθόδων και εφαρμογών σε όλους σχεδόν τους επιστημονικούς κλάδους των Θετικών και Τεχνολογικών Επιστημών.

Ο όρος «άλγεβρα» («al-jabr») αποδίδεται στον Άραβα μαθηματικό al-Khwarizmi (9ος αιώνας μ.Χ.) και σημαίνει μεταφορά ενός όρου από το ένα μέλος μιας σχέσης στο άλλο. Ιστορικά οι πρώτοι που ασχολήθηκαν με την Άλγεβρα είναι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι και Βαβυλώνιοι,  οι οποίοι μελέτησαν την επίλυση εξισώσεων πρώτου και δεύτερου βαθμού. Ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Ευκλείδης (300 π.Χ.), στο έργο του «Στοιχεία», αναφέρεται στη διαιρετότητα, στους πρώτους αριθμούς, το μέγιστο κοινό διαιρέτη και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο και σε άλλα θέματα της Άλγεβρας και της Θεωρίας Αριθμών. Τέλος ο Διόφαντος στο έργο του «Αριθμητικά», ασχολείται με τη Θεωρία Αριθμών.

Η Γραμμική Άλγεβρα είναι τομέας των Μαθηματικών και ειδικότερα της Άλγεβρας, ο οποίος ασχολείται με τη μελέτη διανυσματικών χώρων, γραμμικών απεικονίσεων και συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Η Αναλυτική Γεωμετρία αποτελεί έκφραση της Γραμμικής Άλγεβρας στους Ευκλείδειους χώρους, η οποία οπτικοποιεί την αφηρημένη έννοια του διανυσματικού χώρου. Η έννοια του διανυσματικού χώρου μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη μοντελοποίηση πολλών προβλημάτων, με πιο συνηθισμένη πρακτική την προσέγγιση μη γραμμικών φαινομένων με γραμμικά μοντέλα.

Η μελέτη της Γραμμικής Άλγεβρας εμφανίστηκε αρχικά με τη μελέτη οριζουσών στην επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Οι ορίζουσες χρησιμοποιήθηκαν αρχικά από τον Leibniz (1683 μ.Χ.) και στη συνέχεια ο Cramer έδωσε τη μέθοδο επίλυσης γραμμικών συστημάτων που είναι γνωστή με το όνομα του (1750 μ.Χ.). Αργότερα ο  Gauss (1801 μ.Χ.) ανέπτυξε τη μέθοδο απαλοιφής για την επίλυση γραμμικών συστημάτων και μελέτησε θέματα τετραγωνικών μορφών. Ο Cauchy εισήγαγε  τον όρο «πεδίο» (array) για τον πίνακα (1826 μ.Χ.) και μελέτησε θέματα ιδιοτιμών, διαγωνιοποίησης πινάκων και ιδιότητες όμοιων πινάκων. Η μελέτη πινάκων ξεκίνησε στην Αγγλία στα μέσα του 19ου αιώνα, με τον Sylvester να εισάγει τον όρο «matrix» (πίνακας) (1850 μ.Χ.) και τον Cayley να διαπραγματεύεται θέματα της άλγεβρας πινάκων και των χαρακτηριστικών μεγεθών πινάκων (1858 μ.Χ.).

 

1) Η ύλη του μαθήματος
1.  Χαρακτηριστικά μεγέθη πινάκων 

2. Κανονικές μορφές

3. Γραμμικές μορφές και δυϊκός χώρος

4. Τετραγωνικές μορφές
5. Διγραμμικές μορφές

 

2) Βιβλιογραφία σχετική με το μάθημα

Παρακάτω προτείνονται βιβλία τα οποία περιέχουν παραδείγματα και λυμένες ασκήσεις, αλλά και ασκήσεις προς λύση σχετικές με τις έννοιες του μαθήματος. Τα βιβλία αυτά μπορεί να τα βρει κανείς στις περισσότερες από τις ακαδημαϊκές βιβλιοθήκες.

Τα βιβλία αυτά είναι: 

α) Βιβλία με θεωρία, παραδείγματα, λυμένες ασκήσεις και ασκήσεις προς λύση

         (Διδακτικό εγχειρίδιο Άλγεβρας (επιλογή), καλύπτει όλη την ύλη, σε αυτό θα βασιστούν οι παραδόσεις)

          (Διδακτικό εγχειρίδιο Άλγεβρας (επιλογή), καλύπτει όλη την ύλη)

 

β) Βιβλία με σύντομη θεωρία, λυμένες ασκήσεις και ασκήσεις προς λύση

          (Καλύπτει τα χαρακτηριστικά μεγέθη πινάκων: Ιδιοδιανύσματα, Ιδιοτιμές, Ιδιοχώροι, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο, το Ελάχιστο πολυώνυμο,

           τις γραμμικές μορφές και το δυϊκό χώρο)

 

3) Λογισμικά χρήσιμα για τη μελέτη εννοιών του μαθήματος "Άλγεβρα (Επιλογή)"

Τα εργαλεία οπτικοποίησης (visualization tools) είναι μία νέα και γρήγορα αναπτυσσόμενη ομάδα εργαλείων, τα οποία μας επιτρέπουν να συλλογιστούμε λογικά και να αναπαραστήσουμε οπτικά ιδέες. Τα μαθηματικά πακέτα όπως το Mathematica, το Maple, το MatLab χρησιμοποιούνται συχνά για να αναπαραστήσουν οπτικά μαθηματικές σχέσεις σε προβλήματα, ούτως ώστε να δούμε τα αποτελέσματα οποιουδήποτε χειρισμού στα πλαίσια προβλημάτων. Τα εργαλεία οπτικοποίησης είναι επίσης χρήσιμα για την οπτικοποίηση πειραμάτων. Σχεδιάζοντας τη γραφική αναπαράσταση δεδομένων που έχουν προκύψει από πειράματα, μπορούμε να βγάλουμε χρήσιμα συμπεράσματα σχετικά με τις μεταβλητές και τις τιμές τους.

Το Mathematica μπορεί να χρησιμοποιηθεί αποτελεσματικά στη μελέτη εννοιών των Θετικών Επιστημών, τόσο στη Δευτεροβάθμια όσο και στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση, εφόσον μας δίνει τη δυνατότητα:

1) Να σχεδιάσουμε εύκολα και γρήγορα τη γραφική παράσταση οποιασδήποτε συνάρτησης ή καμπύλης στο επίπεδο ή στο χώρο, μέσω του τύπου της συνάρτησης ή της εξίσωσης της καμπύλης.

2) Να μελετήσουμε αναλυτικά τις γεωμετρικές ιδιότητες και τα γεωμετρικά μεγέθη που αναφέρονται στις συναρτήσεις ή στις καμπύλες του επιπέδου και του χώρου είτε μέσω στατικών αναπαραστάσεων οι οποίες μπορούν να περιλαμβάνουν πολλαπλές καμπύλες στο ίδιο σχήμα, είτε μέσω δυναμικών αναπαραστάσεων και κίνησης (animation).

3) Να κάνουμε εύκολα, γρήγορα και με μεγάλη ακρίβεια πολύπλοκους υπολογισμούς αριθμητικούς ή αλγεβρικούς, οι οποίοι μπορούν να περιλαμβάνουν τόσο υπολογισμούς ορίων, παραγώγων και ολοκληρωμάτων όσο και τη λύση εξισώσεων.

Ένας αναλυτικός οδηγός χρήσης και χειρισμού του Μathematica, ο οποίος περιέχει μεταξύ άλλων πολλά παραδείγματα μελέτης εννοιών από τη Γραμμική Άλγεβρα, με τα αντίστοιχα υποπρογράμματα - εντολές του Mathematica περιέχεται στο βιβλίο:

Υλικό σχετικά με το Mathematica μπορεί κανείς να βρει στους παρακάτω συνδέσμους (links):