2ο Γενικό Λύκειο Καισαριανής

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου

Δρ Κορρές Κωνσταντίνος

 

 

    Τα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Γ΄ Λυκείου ασχολούνται με τη Μαθηματική Ανάλυση, ειδικότερα με τον Απειροστικό Λογισμό.

    Ο Απειροστικός Λογισμός αποτελεί ένα βασικό εργαλείο μελέτης προβλημάτων αφενός όλων σχεδόν των τομέων των Μαθηματικών, αφετέρου προβλημάτων άλλων επιστημών όπως Φυσικής, Χημείας, Οικονομίας, Πολιτικής Επιστήμης, Ψυχολογίας. Βασική έννοια αποτελεί η έννοια του ορίου συνάρτησης, η οποία είναι θεμελιώδης στην ανάπτυξη του Απειροστικού Λογισμού και βοηθάει ατή μελέτη των ακολουθιών πραγματικών αριθμών και της συνέχειας συναρτήσεων.

    Βασικές έννοιες του Απειροστικού Λογισμού είναι επίσης η παράγωγος και το ολοκλήρωμα. Η σύγχρονη επιστήμη και τεχνολογία χρησιμοποιεί το Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό για να εκφράσει φυσικούς νόμους και καταστάσεις με μαθηματική διατύπωση ώστε να μελετηθούν έννοιες, ιδιότητες και συνέπειες τους.
 

1) Βιβλιογραφία σχετική με τον Απειροστικό Λογισμό

    Παρακάτω προτείνονται βιβλία τα οποία περιέχουν παραδείγματα και λυμένες ασκήσεις, αλλά και ασκήσεις προς λύση σχετικές με τις έννοιες του Απειροστικού Λογισμού. Τα βιβλία αυτά μπορεί να τα βρει κανείς στις περισσότερες από τις ακαδημαϊκές βιβλιοθήκες. Τα βιβλία αυτά είναι:  

 

2) Ψηφιακά σενάρια διδασκαλίας

    Τα τελευταία χρόνια έχει διευρυνθεί ο σχεδιασμός και η ανάπτυξη σεναρίων διδασκαλίας τα οποία ενσωματώνουν καινοτόμες διδακτικές προσεγγίσεις και στρατηγικές (διερευνητική, ομαδοσυνεργατική κλπ) και αξιοποιούν τη δυναμική των ψηφιακών τεχνολογιών.

    Ως αποτέλεσμα της έντονης κινητικότητας στο πεδίο του εκπαιδευτικού σχεδιασμού έχουμε:

    α) Ανάπτυξη και αξιοποίηση πληθώρας εργαλείων μαθησιακού σχεδιασμού (learning design tools).

    β) Ολοένα αυξανόμενη ανάπτυξη και αξιοποίηση διαδικτυακών πυλών – αποθετηρίων που φιλοξενούν πολλαπλά σενάρια μάθησης για ποικίλα γνωστικά αντικείμενα.

    Ενδεικτικά παραδείγματα διαδικτυακών πυλών–αποθετηρίων αποτελούν:

    1) Η πλατφόρμα WISE (Web–based Inquiry Science Environment) (https://wise.berkeley.edu/), η οποία αναπτύχθηκε από το Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια Berkeley.

    2) Το αποθετήριο του συστήματος διαχείρισης μάθησης HotChalk (www.Hotchalk.com).

    3) Η πλατφόρμα «Αίσωπος» του ΙΕΠ (aesop.iep.edu.gr)

    Παραδείγματα ψηφιακών σεναρίων τα οποία ενσωματώνουν δραστηριότητες διερευνητικής – ανακαλυπτικής μάθησης για τα Μαθηματικά από την πλατφόρμα «Αίσωπος»:

    α) Η έννοια της παραγώγου συνάρτησης (http://aesop.iep.edu.gr/node/21139 )

    β) Μελέτη συνάρτησης (Μονοτονία – Ακρότατα) (http://aesop.iep.edu.gr/node/21119 )

    γ) Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις (http://aesop.iep.edu.gr/node/7810 )

 

3) Λογισμικά χρήσιμα για τη μελέτη εννοιών του Απειροστικού Λογισμού

    Τα εργαλεία οπτικοποίησης (visualization tools) είναι μία νέα και γρήγορα αναπτυσσόμενη ομάδα εργαλείων, τα οποία μας επιτρέπουν να συλλογιστούμε λογικά και να αναπαραστήσουμε οπτικά ιδέες. Τα μαθηματικά πακέτα όπως το Mathematica, το Maple, το MatLab χρησιμοποιούνται συχνά για να αναπαραστήσουν οπτικά μαθηματικές σχέσεις σε προβλήματα, ούτως ώστε να δούμε τα αποτελέσματα οποιουδήποτε χειρισμού στα πλαίσια προβλημάτων. Τα εργαλεία οπτικοποίησης είναι επίσης χρήσιμα για την οπτικοποίηση πειραμάτων. Σχεδιάζοντας τη γραφική αναπαράσταση δεδομένων που έχουν προκύψει από πειράματα, μπορούμε να βγάλουμε χρήσιμα συμπεράσματα σχετικά με τις μεταβλητές και τις τιμές τους.

    Τα εργαλεία δυναμικής μοντελοποίησης (Dynamic modeling tools) περιγράφουν πως οι ιδέες είναι δυναμικά συσχετισμένες μεταξύ τους. Τα εργαλεία δυναμικής μοντελοποίησης χρησιμοποιούνται όχι μόνο για να αναπαραστήσουμε δυναμικές σχέσεις, αλλά επίσης για να κατασκευάσουμε προσομοιώσεις μοντέλων δυναμικών συστημάτων.

    α) Mathematica

    Το Mathematica μπορεί να χρησιμοποιηθεί αποτελεσματικά στη μελέτη εννοιών των Θετικών Επιστημών, τόσο στη Δευτεροβάθμια όσο και στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση, εφόσον μας δίνει τη δυνατότητα:

    1) Να σχεδιάσουμε εύκολα και γρήγορα τη γραφική παράσταση οποιασδήποτε συνάρτησης ή καμπύλης στο επίπεδο ή στο χώρο, μέσω του τύπου της συνάρτησης ή της εξίσωσης της καμπύλης.

    2) Να μελετήσουμε αναλυτικά τις γεωμετρικές ιδιότητες και τα γεωμετρικά μεγέθη που αναφέρονται στις συναρτήσεις ή στις καμπύλες του επιπέδου και του χώρου είτε μέσω στατικών αναπαραστάσεων οι οποίες μπορούν να περιλαμβάνουν πολλαπλές καμπύλες στο ίδιο σχήμα, είτε μέσω δυναμικών αναπαραστάσεων και κίνησης (animation).

    3)   Να κάνουμε εύκολα, γρήγορα και με μεγάλη ακρίβεια πολύπλοκους υπολογισμούς αριθμητικούς ή αλγεβρικούς, οι οποίοι μπορούν να περιλαμβάνουν τόσο υπολογισμούς ορίων, παραγώγων και ολοκληρωμάτων όσο και τη λύση εξισώσεων.

Υλικό σχετικά με το Mathematica μπορεί κανείς να βρει στους παρακάτω συνδέσμους (links):

    Εγκατάσταση μιας trial version του Mathematica

    Παρουσιάσεις στο Mathematica (από την Ιστοσελίδα Wolfram Demonstrations Project)

    Παράδειγμα ηλεκτρονικού φύλλου εργασίας του Mathematica

   

    β) Geogebra

    To GeoGebra είναι μια ελεύθερη εφαρμογή μαθηματικών για όλα τα επίπεδα της εκπαίδευσης, μέσω της οποίας μπορεί κανείς να μελετήσει θέματα Γεωμετρίας, Άλγεβρας και Ανάλυσης. Το Geogebra έχει λάβει αρκετά διεθνή βραβεία εκπαιδευτικού λογισμικού, στην Ευρώπη και στις Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής.

   Εγκατάσταση του Geogebra

   Παραδείγματα και αρχεία του Geogebra (από την Ιστοσελίδα του Geogebra)

   

    γ) Graphmatica

    Με το Graphmatica μπορεί κανείς να σχεδιάσει γραφικές παραστάσεις πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής στο επίπεδο, εισάγοντας τον τύπο της συνάρτησης. 

    Εγκατάσταση του Graphmatica

   

    δ) Modellus

    Το Modellus σχεδιάστηκε και αναπτύχθηκε από μία ομάδα επιστημόνων από το Νέο Πανεπιστημίο της Λισαβόνας. Το Modellus μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή μοντέλων και τη διερεύνηση τους με τη μορφή παρουσιάσεων, γραφημάτων και πινάκων τιμών. Επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση και ερμηνεία πειραματικών δεδομένων, εφόσον διαθέτει εργαλεία για την κατασκευή μοντέλων από εικόνες (φωτογραφίες, γραφήματα κλπ) και βίντεο.

    Εγκατάσταση και οδηγοί χρήσης του Modellus (Ελληνική έκδοση) (μέσω της Ιστοσελίδας του προγράμματος "Κίρκη")

    Παραδείγματα και αρχεία του Modellus (από την Ιστοσελίδα του Modellus)